SEMANA 36 TALLER 27: COCIENTES NOTABLES

 ¿Qué son los Cocientes notables?

Son aquellas divisiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir sin efectuar la operación propiamente dicha.

Casos que se presentan en los Cocientes Notables

Los casos que se presentan en este importante tema son:

1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

CASO A: clic

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la  suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades del denominador.

CASO B: clic

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades:

2. Cociente de la suma o la diferencia del cubo de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades:

CASO A:clic

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades:

igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad ( de los denominadores).

Entonces:

Ejemplo : 
Para obtener el cociente de:

Se puede observar que los dos términos del numerador son los cubos de los términos que aparecen sumados en el denominador puesto que 3 y es el cubo de y, mientras que 1 es el cubo de 1.

 Una vez identificado el caso como un cociente notable, se aplica la regla:

CASO B: clic

Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades:

Es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad ( de los denominadores).

Ejemplo :

TALLER  27   Tema: Cocientes notables    

1) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

2) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

3) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

         

video: clic

Semana 35 Taller 25 y taller 26

 Triángulo de Pascal 

Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios.  Esta expresión se denomina binomio de Newton. Esta fórmula del binomio de Newton desarrolla los coeficientes de cada fila en el triángulo de Pascal. Es por esto que existe una estrecha relación entre el triángulo de Pascal y los binomios de Newton.

Triángulo de Pascal o Tartaglia y su relación con el binomio de Newton 

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios es una tabla numérica infinita de forma triangular, que permite resolver toda una gama de problemas de cálculo. El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

• Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. 

• Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".

• La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)

• La tercera diagonal son los números triangulares (Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero)

• La cuarta diagonal, son los números tetraédricos (número que representa una pirámide de base triangular y tres lados, llamada tetraedro.)

Cada fila tiene tantos números más 1, como indica el número de la fila; por ejemplo, la 5ª fila tiene 5+1= 6 números.

Binomio de Newton 

1. La respuesta tiene un término más que el exponente al que está elevado el binomio.

2. El exponente de la parte literal "a", va disminuyendo de uno en uno a partir de la potencia del binomio, mientras que "b" aparece a partir del segundo término y va aumentando de uno en uno, hasta el exponente del binomio.

3. El coeficiente numérico del primero y último términos del polinomio, es "1"; las otras partes numéricas son la suma de los coeficientes como lo muestra el triángulo de Pascal.

4. Los signos o van todos positivos o van alternados según el caso a resolver.

Ejemplo: 

Ver video: clic

Biografía de Blaise Pascal (19/06/1623 - 19/08/1662)

Filósofo, matemático y físico francés

• Conocido por: Principio de Pascal, Triángulo de Pascal, Teorema de Pascal...
• Áreas: Matemática, física, filosofía y religión
• Obras: Traité du vide, Traité général de la roulette...
• Padres: Étienne Pascal y de Antoinette Begon
• Seudónimo: Louis de Montalte

"Si no actúas como piensas, terminarás pensando como actúas"

                                                                                                                Blaise Pascal

Blaise Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont-Ferrand.

Hijo de Étienne Pascal y de Antoinette Begon. Tuvo dos hermanas, Gilberte y Jaqueline.

A la muerte de su madre en 1631, se trasladó con su familia a París.

Cuando contaba 16 años, formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el Teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cónicas (1639).

En 1642, ideó la primera máquina de calcular mecánica. 

Mediante un experimento demostró en 1648, que el nivel de la columna de mercurio de un barómetro lo determina el aumento o disminución de la presión atmosférica circundante.

En el año 1653,escribió un tratado sobre la presión atmosférica, en el que hizo una descripción completa de la hidrostática.

Un año después, junto a Pierre de Fermat( , formuló la teoría matemática de la probabilidad, fundamental en estadísticas actuariales, matemáticas y en los cálculos de la física teórica moderna.

Otras de sus contribuciones son la deducción del llamado 'principio de Pascal', que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales.

En 1654, entró en la comunidad jansenista de Port Royal, donde llevó una vida ascética hasta su fallecimiento. Este mismo año publicó Entretien avec Savi sur Epictète et Montaigne

En 1656, escribió sus 18 Provinciales, en las que ataca a los jesuitas por sus intentos de reconciliar el naturalismo del siglo XVI con el catolicismo ortodoxo. En 1659, editó su escrito Traitédes sinus des quarts de cercle.

A principios de 1662, fundó con un amigo apedillado Roannez, una empresa de carrozas Les carosses à cinq sous, dando así comienzo al transporte público en París.

En 1670, sus seguidores publicaron a título póstumo su obra incompleta, Pensées sur la religion, dedicada a la defensa del cristianismo contra ateos y escépticos.

Blaise Pascal falleció en París el 18 de agosto de 1662, a los 39 años, sus últimas palabras fueron "Que Dios nunca me abandone".

Fue enterrado en el cementerio de Saint-Étienne-du-Mont.

Sabías que...

Se le atribuye la invención de la Ruleta francesa tal como se la conoce hoy.

Taller 25

Tema: triángulo de Pascal y binomio de Newton

 

1. (a +b)⁵

2. (a +b)⁶

3. (a +b)⁷

4. (a +b)⁸

5. (a +b)⁹

 

Taller 26

Tema:  Biografías y Mapas mentales de Pascal y Newton

1. Hacer el triángulo de Pascal en una cartulina pequeña (u hoja de papel cualquiera)

2. Biografía de Blaise Pascal (1623 – 1662) fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés.

3. Mapa mental de Blaise Pascal

4. Biografía de Isaac Newton (1643 – 1727) fue un físico, matemático y astrónomo inglés.
Es uno de los científicos más importantes de la historia.

5. Mapa mental de Isaac Newton

 

Semana 33-34 Taller 23 Conversión de medidas de longitud Taller 24: Medidas de superficie, conversiones.

 ¿Qué es la longitud?

La longitud es una medida de distancia o extensión en una sola dimensión (línea recta).
Se utiliza para saber cuánto mide algo de largo.

📏 Ejemplos reales de longitud:

• La altura de una persona: 1.70 metros

• El largo de una mesa: 1.5 metros

• La distancia entre dos calles: 500 metros

• El ancho de una hoja de papel: 21 centímetros

Medidas de Longitud

• Unidad base: metro (m)

• Otras unidades comunes:

  • kilómetro (km) = 1,000 m

  • decámetro (dam) = 10 m

  • decímetro (dm) = 0.1 m

  • centímetro (cm) = 0.01 m

  • milímetro (mm) = 0.001 m

🔁 Conversión:
Multiplica o divide por 10 al pasar de una unidad a otra en el sistema métrico.

Ejemplo 1: De mayor a menor

Convertir 3 km a mm

1. Partimos desde km y bajamos hasta mm:

2. → km → hm → dam → m → dm → cm → mm
   (Son 6 pasos hacia la derecha)

3. Cada paso es ×10, entonces:
   3 km × 10⁶ = 3,000,000 mm

📌 Resultado: 3 km = 3,000,000 mm

Ejemplo 2: De menor a mayor

Convertir 25,000 mm a m

1. Partimos desde mm y subimos hasta m:
   ← mm ← cm ← dm ← m
   (Son 3 pasos hacia la izquierda)

2. Cada paso es ÷10, entonces:
   25,000 ÷ 10³ = 25 m

📌 Resultado: 25,000 mm = 25 m

¿Qué es la superficie?

La superficie (también llamada área) es la medida del espacio que ocupa una figura en dos dimensiones (largo x ancho).
Se usa para saber cuánto espacio cubre una cosa por completo.

🧱 Ejemplos reales de superficie:

• El área de una habitación: 12 m²

• El tamaño de un terreno: 500 m² o 1 hectárea (10,000 m²)

• Una hoja tamaño carta: 623.7 cm²

• Una cancha de fútbol: 7,140 m² aprox.

Medidas de Superficie

• Unidad base: metro cuadrado (m²)

• Otras unidades comunes:

  • kilómetro cuadrado (km²) = 1,000,000 m²

  • hectárea (ha) = 10,000 m²

  • decárea (a o dam²) = 100 m²

  • centímetro cuadrado (cm²) = 0.0001 m²

  • milímetro cuadrado (mm²) = 0.000001 m²

🔁 Conversión:
Cada paso entre unidades cuadradas se hace multiplicando o dividiendo por 100 (ya que $10^2 = 100$).

 Escalera Métrica de Superficie

Mm²  km²	hm²	dam²	m²	dm²	cm²	mm²

🟡 IMPORTANTE: En las superficies, cada paso equivale a multiplicar o dividir por 100 (10²), no por 10 como en longitud.

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🔽 Ejemplo 1: De mayor a menor unidad

Convertir 5 hectáreas (hm²) a m²

1. De hm² → m²: 1 paso hacia la derecha

2. Cada paso = ×100

👉 5 hm² × 100 = 500 m²

📌 Resultado: 5 hm² = 500 m²

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🔼 Ejemplo 2: De menor a mayor unidad

Convertir 250,000 cm² a m²

1. De cm² → m²: 2 pasos hacia la izquierda

2. Cada paso = ÷100

👉 250,000 ÷ 100 ÷ 100 = 250,000 ÷ 10,000 = 25 m²

📌 Resultado: 250,000 cm² = 25 m²

Comparación entre longitud y superficie

Característica	Longitud	Superficie
¿Qué mide?	Distancia (una dimensión)	Espacio ocupado (dos dimensiones)
Unidad base	metro (m)	metro cuadrado (m²)
¿Cómo se calcula?	Se mide directamente	largo × ancho
Ejemplo	Largo de una cuerda: 2 m	Piso de una habitación: 12 m²

Taller 23 : Conversión de Medidas de Longitud 

🔹 Recuerda:

• Para convertir unidades de longitud, multiplico si es de mayor a menor ó divido si es de menor a mayor, por 1 seguido de ceros como lugares separe a una unidad de otra. 

• 1 km = 1000 m

• 1 m = 100 cm

• 1 cm = 10 mm

Superficie

🔹 Recuerda:

• 1 km² = 1000.000 m²

• 1 ha = 10.000 m²

• 1 m² = 10.000 cm²

• • Para convertir unidades de superficie, multiplico si es de mayor a menor ó divido si es de menor a mayor por 1 seguido de dos ceros como lugares separe a una unidad de otra. 

Hacer la conversión y en cada caso hacer la tabla y procedimientos completos.

Ver video: clic

taller 23

1. Convierte 3 km a metros

2. Convierte 450 cm a metros

3. Convierte 12 metros a milímetros

4. Convierte 5000 mm a metros

5. Convierte 2 hectáreas a m

6. Convierte 30.000 cm a m
7. Convierte 0,5 km a m
8. Convierte 150 m a cm

 Medidas de Superficie

✅ ¿Qué son?

Las medidas de superficie sirven para calcular cuánto espacio ocupa una figura plana (como un cuadrado, un rectángulo, un terreno, una cancha, etc.).
En otras palabras, nos ayudan a medir el área de algo.

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✅ ¿Para qué se utilizan?

• Para medir terrenos, lotes o parcelas.

• Para calcular el tamaño de una cancha o una habitación.

• Para hacer planos de construcción.

• Para medir campos agrícolas, fincas o parques.

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✅ ¿Cuáles son?

La unidad principal es el metro cuadrado (m²).
De ahí se forman las demás:

• km² (kilómetro cuadrado) → el más grande.

• hm² (hectómetro cuadrado)

• dam² (decámetro cuadrado)

• m² (metro cuadrado) → unidad base.

• dm² (decímetro cuadrado)

• cm² (centímetro cuadrado)

• mm² (milímetro cuadrado) → el más pequeño.

📌 Se organizan en una tabla de unidades (de mayor a menor):

km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm²

Cómo convertir

👉 Cada vez que bajamos una unidad (de grande a pequeño) multiplicamos por 100.

👉 Cada vez que subimos una unidad (de pequeño a grande) dividimos por 100.

Esto es así porque cada lado de la figura se multiplica por 10, y como el área es lado × lado, el 10 × 10 = 100.


🔹 Ejemplos de conversión
De mayor a menor (multiplicar por 100 en cada salto):

5 m² = ? cm²
      m² → dm² → cm²
      5 × 100 × 100 = 50 000 cm²
De menor a mayor (dividir por 100 en cada salto):
300 000 cm² = ? m²
      cm² → dm² → m²
      300 000 ÷ 100 ÷ 100 = 30 m²
Ejemplo con hectáreas (hm²):
Un lote mide 2 hm². ¿Cuántos m² son?
      hm² → dam² → m²
      2 × 100 × 100 = 20 000 m²

Taller 24: Grado 8°
Tema: Medidas de superficie, conversiones.

Realice las siguientes conversiones de medidas de superficie,
haga los procedimientos completos y la tabla en cada ejercicio.

  Mm² → km² → Hm² → Dm² → m² → dm² → cm² → mm²
taller 24
ver video: clic
1. Convertir 7 m² a cm².
2. Convertir 15 000 cm² a m².
3. Convertir 3 km² a m².
4. Convertir 2 500 000 mm² a m².
5. Convertir 4 hm² a Dm².
6. Convertir 950 Dm² a m².
7. Convertir 120 000 cm² a dm².
8. Convertir 8 m² a mm².
9. Convertir 0,5 km² a hm².
10. Convertir 75 dm² a cm².

SEMANA 31-32-TALLER 18 CUADRILÁTEROS Y AREA.

CUADRILÁTEROS

Objetivo

Reconocer, clasificar y describir las propiedades de los diferentes cuadriláteros, aplicando sus características en ejercicios de identificación, cálculo y resolución de problemas geométricos.

DBA (Desempeño Básico de Aprendizaje)

Clasifica y describe las propiedades de los cuadriláteros (lados, ángulos, diagonales y paralelismo), identificándolos en situaciones de la vida cotidiana.

1. ¿QUÉ ES UN CUADRILÁTERO?

Un cuadrilátero es un polígono que tiene 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos.
✅ Propiedad importante:
La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°.

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2. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

1. Paralelogramos (tienen lados opuestos paralelos):

   • Cuadrado: Características:

     • Tiene 4 lados iguales.

     • Sus 4 ángulos son rectos (90°).

     • Sus diagonales son iguales y se cortan en el centro.

     • Área: $A = L \times L = L^2$
       Perímetro: $P = 4L$

       Ejemplo:
       Si el lado mide $6 \, cm$:

       • $A = 6^2 = 36 \, cm^2$

       • $P = 4 \times 6 = 24 \, cm$
         

   • Rectángulo:

   • Características:

   • • Tiene lados opuestos iguales.

     • Sus 4 ángulos son rectos.

     • Sus diagonales son iguales.

   • Rombo: 4 lados iguales, ángulos opuestos iguales pero no rectos.

   • Romboide: Lados opuestos iguales y ángulos opuestos iguales.

2. No paralelogramos:

• Trapecio: Tiene un solo par de lados paralelos.

• Trapezoide: Ningún lado paralelo.

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3. PROPIEDADES PRINCIPALES

• Lados:

  • En paralelogramos, los lados opuestos son iguales.

• Ángulos:

  • La suma siempre es 360°.

  • En el cuadrado y rectángulo son todos de 90°.

• Diagonales:

  • En el cuadrado y el rombo se cortan en ángulo recto.

  • En el rectángulo son iguales, pero no necesariamente perpendiculares.

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4. EJEMPLOS PRÁCTICOS

• Cuadrado: Una baldosa de piso.

• Rectángulo: Una hoja de cuaderno.

• Rombo: Señales de tránsito tipo “precaución”.

• Trapecio: Algunas mesas modernas tienen forma trapezoidal.

TALLER   18 

TEMA: Cuadriláteros y área de los mismos.

Resolver haciendo procedimientos completos( Las fórmulas, gráfica de cada punto, multiplicaciones y divisiones deben aparecer en cada punto)