SEMANA 38-39-40 EXÁMEN FINAL DEL PERÍODO-FACTORIZACION - SEMANAS DE RECUPERACIÓN Y REFUERZO

 Bibliografía: https://www.algebra.jcbmat.com/id1165.htm

https://www.algebra.jcbmat.com/id1166.htm

https://matematicasprofealex.wordpress.com/2017/12/14/factorizacion/

Factorización   video de casos de factorización clic

Casos:

1. Factor común:

a) Factor común numérico

b) Factor común literal

c) Factor común numérico literal

2. Casos para binomios: 

a) Diferencia de cuadrados

b) Suma de cubos

c) Diferencia de cubos

d) Suma o diferencia de potencias iguales

3. Descomposición de trinomios en factores:

a) Trinomio cuadrado perfecto

b) Trinomio de la forma x²ⁿ + bxⁿ + c

c) Trinomio de la forma ax²ⁿ + bxⁿ + c

4. Casos para polinomios:

a) Agrupación de términos

b) Expresión correspondiente al cubo de un binomio

5. Casos especiales:

a) Suma de cuadrados

b) Trinomio cuadrado por adición y sustracción

  b1) La expresión es un trinomio

  b2) La expresión es un binomio

Factorización

Factorizar es escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más expresiones.

1.  Factor común:

Hay un factor común cuando todos los términos que conforman una expresión, poseen una parte común, ya sea numérica o literal. 

P r o c e d i m i e n t o :

1.  Se identifica el factor común

2.  Se divide cada término del polinomio por el factor común

3.  Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo).

Ejemplo:

2. Casos para binomios:

a) Diferencia de cuadrados: Ver video: clic

Se identifica:

• Sus términos tienen distinto signo.
• Sus términos deben tener raíz cuadrada exacta.

Se factoriza:

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces por la diferencia de las raíces. 

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: 

Ejemplo 3

Factorizar: 

 

Dio un producto de la suma por la diferencia de dos cantidades:

 ( a+ b) ( a-b) 

Que es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo 4

Dio un producto de la suma por la diferencia de dos cantidades:

                                            ( a+ b) ( a-b) 

Que es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Ver ejemplos con vídeos en el siguiente enlace:

https://www.algebra.jcbmat.com/id1165.htm

TALLER N°__

1. Resolver los siguientes ejercicios  hallando el factor común y factorice ( enumere cada ejercicio: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j)

2. Solucione aplicando casos para binomios: "diferencia de cuadrados":( explique cómo lo identificó y cómo se factoriza en cada caso):

__________________________________________________________________

Ver:  https://www.algebra.jcbmat.com/id1179.htm

b) Suma o diferencia de cubos: 

1. Se abren dos paréntesis

2.  En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia (según el caso), de las raíces cúbicas de los dos términos

3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos(si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz

Taller

Solucione aplicando suma o diferencia de cubos

Ver videos referentes al tema suma o diferencia de cubos antes de resolver el taller, en el siguiente enlace: https://www.algebra.jcbmat.com/id1179.htm

1)    512 b⁶ – a⁶          

 2) a³ – 216              

 3) 27 m³ – 8 n⁶

 4)  1331 – a³             

 5) 8 a³ + 27 a⁶         

 6) 343 x³ + 512 y⁶

 7) 27 m³ + 343 n⁹          

 8) m6 + 1331 n³

3. Descomposición de trinomios en factores:

       a) Trinomio cuadrado perfecto:  video clic

Un trinomio, es un trinomio cuadrado perfecto cuando:

1.    La expresión debe estar ordenada ascendente o descendentemente.

2.    Los términos primero y tercero deben poseer signos iguales y tener raíz cuadrada exacta.

3.    El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los términos primero y tercero.

SE FACTORIZA: Un trinomio cuadrado se factoriza en un binomio al cuadrado. Estos dos términos son las raíces cuadradas del primer y tercer términos del trinomio,separadas por el signo del segundo término del trinomio. Ejemplos:

  

Podemos observar que la respuesta del trinomio cuadrado perfecto, es el cuadrado de la diferencia de dos cantidades y viceversa: si yo tengo cuadrado de la diferencia de dos cantidades, la respuesta es un trinomio cuadrado perfecto.

Ver videos referentes al tema antes de resolver el taller, en el siguiente enlace:

https://www.algebra.jcbmat.com/id1168.htm

Taller

Resolver aplicando trinomio cuadrado perfecto. Haga el análisis y luego resuelve con todo el procedimiento.

                        a)    4 x² – 12 x y + 9 y²                 d) 49 m⁶ -70 a m³ n² + 25 a² n⁴

b)    1- 2 a³ + a⁶                             e) a⁸ + 18 a⁴ + 81

   c)    16 + 40 x² + 25 x⁴                   f) 36 + 12 m² + m⁴

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

 c. Trinomio de la forma ax² + b x + c

Este caso se diferencia del caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

coeficiente distinto de 1.

Ejemplo 1

Ejemplo dos

Taller

1.   Factorizar aplicando Trinomio de la forma ax² + b x + c

Explique paso a paso.

a)    2 x² + 3 x -2           c) 3 x² – 5 x -2         e) 6 x² + 7 x + 2

b)    5 x² +13 x -6          d) 12 m² -13 m -35   f) 20 n² – 9 n – 20

TALLERES DEL PERÍODO TRES

 

SEMANA 36 -37 TALLER: COCIENTES NOTABLES

¿Qué son los Cocientes notables?

Son aquellas divisiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir sin efectuar la operación propiamente dicha.

Casos que se presentan en los Cocientes Notables

Los casos que se presentan en este importante tema son:

1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

CASO A: clic

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la  suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades del denominador.

CASO B: clic

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades:

2. Cociente de la suma o la diferencia del cubo de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades:

CASO A:clic

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades:

igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad ( de los denominadores).

Entonces:

Ejemplo : 
Para obtener el cociente de:

Se puede observar que los dos términos del numerador son los cubos de los términos que aparecen sumados en el denominador puesto que 3 y es el cubo de y, mientras que 1 es el cubo de 1.

 Una vez identificado el caso como un cociente notable, se aplica la regla:

CASO B: clic

Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades:

Es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad ( de los denominadores).

Ejemplo :

TALLER #8   Tema: Cocientes notables     Fecha:___________

Grado: 8°2   Nombre: ___________________________________

1) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

2) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

3) RESOLVER: ( tenga en cuenta los conceptos)

         

video: clic

SEMANA 35 TALLER: BINOMIO DE NEWTON Y SU RELACIÓN CON EL TRIÁNGULO DE PASCAL Producto de la forma (x + a)(x + b)

 

21 AL 25 DE OCTUBRE

TRIÁNGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON

Binomio de Newton


1. La respuesta tiene un término más que el exponente al que está elevado el binomio.
2. El exponente de la parte literal "a", va disminuyendo de uno en uno a partir de la potencia del binomio, mientras que "b" aparece a partir del segundo término y va aumentando de uno en uno, hasta el exponente del binomio.
3. El coeficiente numérico del primero y último términos del polinomio, es "1"; las otras partes numéricas son la suma de los coeficientes como lo muestra el triángulo de Pascal.
4. Los signos o van todos positivos o van alternados según el caso a resolver.


Ejemplo:



Ver video: clic

Biografía de Blaise Pascal (19/06/1623 - 19/08/1662)

Filósofo, matemático y físico francés
Conocido por: Principio de Pascal, Triángulo de Pascal, Teorema de Pascal...
Áreas: Matemática, física, filosofía y religión
Obras: Traité du vide, Traité général de la roulette...
Padres: Étienne Pascal y de Antoinette Begon
Seudónimo: Louis de Montalte

"Si no actúas como piensas, terminarás pensando como actúas"
Blaise Pascal

Blaise Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont-Ferrand.

Hijo de Étienne Pascal y de Antoinette Begon. Tuvo dos hermanas, Gilberte y Jaqueline.

A la muerte de su madre en 1631, se trasladó con su familia a París.

Cuando contaba 16 años, formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el Teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cónicas (1639).

En 1642, ideó la primera máquina de calcular mecánica.

Mediante un experimento demostró en 1648, que el nivel de la columna de mercurio de un barómetro lo determina el aumento o disminución de la presión atmosférica circundante.

En el año 1653,escribió un tratado sobre la presión atmosférica, en el que hizo una descripción completa de la hidrostática.

Un año después, junto a Pierre de Fermat( , formuló la teoría matemática de la probabilidad, fundamental en estadísticas actuariales, matemáticas y en los cálculos de la física teórica moderna.

Otras de sus contribuciones son la deducción del llamado 'principio de Pascal', que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales.

En 1654, entró en la comunidad jansenista de Port Royal, donde llevó una vida ascética hasta su fallecimiento. Este mismo año publicó Entretien avec Savi sur Epictète et Montaigne

En 1656, escribió sus 18 Provinciales, en las que ataca a los jesuitas por sus intentos de reconciliar el naturalismo del siglo XVI con el catolicismo ortodoxo. En 1659, editó su escrito Traitédes sinus des quarts de cercle.

A principios de 1662, fundó con un amigo apedillado Roannez, una empresa de carrozas Les carosses à cinq sous, dando así comienzo al transporte público en París.

En 1670, sus seguidores publicaron a título póstumo su obra incompleta, Pensées sur la religion, dedicada a la defensa del cristianismo contra ateos y escépticos.

Blaise Pascal falleció en París el 18 de agosto de 1662, a los 39 años, sus últimas palabras fueron "Que Dios nunca me abandone".

Fue enterrado en el cementerio de Saint-Étienne-du-Mont.

Sabías que...

Se le atribuye la invención de la Ruleta francesa tal como se la conoce hoy.

TALLER #

Resuelva aplicando el binomio de Newton y el triángulo de Pascal.

Realice los procedimientos completos y paso a paso.

Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)

P r o c e d i m i e n t o :

1.  El desarrollo del producto da un trinomio

2.  El primer término será el cuadrado del primer término de los binomios (igual en ambos)

3.  El segundo término será el producto de la suma de los términos distintos por el término común de los binomios

4.  El tercer término será el producto de los términos distintos (cada uno con su respectivo signo)  

Escribir por simple inspección, el resultado de:

 1

 2

 3

 4

 6

 7

Tomado de: https://algebra.jcbmat.com/id1142.htm

                                       TALLER

Resolver aplicando Producto de la forma (x + a)(x + b)