Semana 15 y 16 Taller 8 ecuaciones Taller 9 ecuaciones

Números Reales "R"

Resultan de la unión de los números racionales con los irracionales.

R= { Q + I}        Los números reales completan la recta numérica.

Ejemplos:

1. Hallar el valor de un número real x+3=10

                       Comprobación

x+3=10           x+3=10

x=10-3            7+3=10

x=7                   10=10

Lenguaje algebraico. Ver videos:  clic clic

2. Un número disminuido en siete es igual a uno

                       Comprobación

x-7=1              x-7=1

x=1+7             8-7=1

x=8                     1=1

3. La mitad de un número es menos ocho. Cuál es el número?

                            Comprobación

m/2=-8                m/2=-8

m=-8 . 2            -16/2 = - 8

m= - 16                   -8= -8     

Muchas veces en matemáticas tenemos que trabajar con valores desconocidos. En estos casos los números desconocidos los representamos con letras y se llaman variables o incógnitas.

El álgebra es la parte de las matemáticas que nos permite estudiar y trabajar con expresiones en las que aparecen números y letras relacionados con las operaciones que ya conocemos.

Cuando traducimos al lenguaje algebraico enunciados en los que aparecen valores desconocidos obtenemos expresiones algebraicas.

Fíjate como se traducen al lenguaje algebraico distintos enunciados en los que aparece un número desconocido al que llamaremos x:

Lenguaje hablado Expresión algebraica

El tripe de un número 3x

El doble de un número menos 6 unidades 2x - 6

La cuarta parte de un número x/4

El producto de un número y su siguiente x·(x + 1)

La suma de un número y su cuadrado x2 + x

TALLER   8  TEMA: Ecuaciones

1. En los siguientes ejercicios halle el valor de la incógnita

a) x+5=11

b) y-3=4

c)t+2=8-t

d) 2d+9=31

e)3x-2=5

f)6x+5=-5x+6

g)5x+3=4+6x

h)4/3x - 4/3= - 5/3

i) x+(x+1)=4x - 8

j) 2(x + 3)=7x

2. Escriba la respuesta de los siguientes ejercicios

 

3. Simbolice algebraicamente las siguientes expresiones:

a) El triple de la suma de a y c

b) La suma del cuadrado de m, n y p

c) La raíz cúbica de la diferencia de Y y Z

d) El cubo de C disminuido en cuatro

e) El doble de la diferencia de los cuadrados de p y g

f) El triplo de la suma de los cubos  de g y j

g) Tres veces el cubo de X más el cuadrado de y

h) La raíz cuadrada del cubo de la suma de x y y

i) La tercera parte de la suma de los cubos de t y r

j) El producto de la diferencia de los cuadrados de x y y con la diferencia de los cubos

4. Resuelva las siguientes potencias:

ECUACIONES             Ver video clic

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Cuando decimos que vamos a resolver una ecuación nos referimos a que vamos a encontrar cuánto vale la incógnita, para ello hay que situar todos los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y todos los términos sin incógnitas en el otro miembro. Luego debes despejar la incógnita realizando la operación que corresponda. 

PARTES DE UNA ECUACIÓN

Resolver ecuaciones 

El primer objetivo es agrupar los números para dejar a la incógnita ‘X’ en un lado de la ecuación.

 Cuando pases de un lado a otro los números debes cambiarlo de signo. 

Ejemplo: 

- Si un número está en un lado sumando, debemos pasarlo al otro restando. 

- Si un número está en un lado restando, debemos pasarlo al otro sumando.

 - Si un número está en un lado multiplicando, debemos pasarlo al otro dividiendo.

 - Si un número está en un lado dividiendo, debemos pasarlo al otro multiplicando.

EJEMPLOS:

TALLER # 9  ---  Ecuaciones 

TEMA: Ecuaciones de primer grado.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado: 

a) 3𝑥 + 4 = 13                      b) 7𝑥 + 1 = 16                c) 5𝑥 + 9 = 9𝑥 + 1           d) 5𝑥 + 2 = 7 

e) 6𝑥 + 4 = 3𝑥 + 10              f) 4𝑥 − 10 = 6                  g) 5𝑥 + 12 = 37               h) 9𝑥 = 7𝑥 + 24  

i) 2𝑥 + 7 = 13                       j) 8𝑥 − 19 = 45              k)  4x + 7 = 31                l) 7 = 4𝑥 − 1 

m) 2𝑥 + 5 = 9                       n) 3𝑥 - 7 = 2𝑥 + 4        o) 5𝑥 − 9 = 3𝑥 + 7          p) 2𝑥 − 5 = 3𝑥 + 4

Tomado de https://www.colegiosandiego.cl/wp-content/uploads/2021/03/GU%C3%8DA-N%C2%B01-MAT-8%C2%B0-PDF.pdf

Álgebra   Ver video: clic

La palabra álgebra proviene del vocablo Árabe " Al jarb" que significa ciencia de la transformación y la reducción, del paso y del arreglo, del intercambio y el manejo.

Se emplea para sintetizar los diferentes conceptos de ciencias como la física, la geometría analítica, la química y el cálculo.

Proporciona también una serie de instrucciones útiles para obtener resultados en el menor tiempo posible, de una forma ordenada y práctica, utilizando un código ordenado de letras, números y signos de operación y relación.

A) Literales ( letras )

B) Números

C) Operación ( el por, el dividido, potenciación y radicación)

D) Relación ( mayor que, menor que e igual a )

E) Agrupación ( paréntesis, corchetes y llaves )

Expresión algebraica ver video clic

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Término algebraico

En álgebra, un término algebraico, es un solo número o variable, o números y variables multiplicados entre sí.

Los términos están separados por los signos “+ o –“.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Un Término consta de dos partes: coeficiente y factor literal.

Coeficiente: Es el número que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra, recuerda que lleva el 1).

Factor Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

El grado de un Término Algebraico es el mayor exponente de término algebraico.

Grado Absoluto de un Término Algebraico  ver video  clic

El grado absoluto de un término algebraico es la suma de todos los exponentes de las variables algebraicas.

El grado absoluto de un término algebraico se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.

Ejemplo:

7a5b4c7

Grado = 5 + 4 + 7

Grado = 16

Grado Relativo de un Término Algebraico

El grado relativo es el valor del exponente de cada variable.

Ejemplo:

7a5b4c7

Grado de a = 5

Grado de b = 4

Grado de c = 7

Tipos de expresiones algebraicas  ver video: clic

Monomio                  Binomio                                 Trinomio

7y                             3x 2x + 4                                X2 + x + 5

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Son monomios: 5x2 , 2xy3, -4xy2z4, x3, 3x

El número que multiplica a las letras se llama coeficiente y las letras parte literal.

Grado de un monomio

Se llama grado de un monomio al número de factores que forman la parte literal, se obtiene sumando los exponentes de las variables.

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

 2) 4x2 − 25 3) 9x2 + 27x 4) a3 − b3

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo:

Polinomio: Expresión algebraica de más de 3 términos.

► El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que los forman.

► Llamamos coeficiente principal al coeficiente del monomio de mayor grado.

► El término independiente el monomio que tiene grado cero, es decir, el que no tiene variables.

Taller : Expresiones algebraicas( Enumere el taller)

SEMANA 16 TALLER DE RECUPERACIÓN DEL PRIMER PERÍODO PARA LOS ESTUDIANTES QUE NO ALCANZARON LOS LOGROS.

INSTITUCION EDUCATIVA JOSÉ CLESTINO MUTIS MEDELLÍN ANTIOQUIA.

TALLER DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS GRADO OCTAVO ____PERÍODO UNO   AÑO 2025  

1. Escriba en notación científica:

A) Velocidad de la luz: 299.792.458 m/s          B) 4.038. 000.000.000  

C) 0,000003              D) 0, 0 000 000 00005 689             

3. Multiplique o divida en forma abreviada según sea el caso:

A) 45,678 x 10000=                 B) 0,008765X 100000=         C) 345: 1000=      D) 89,76:10=

4. Solucione aplicando el teorema de Pitágoras.

 

5. Plantea y resuelve los siguientes problemas de ecuaciones y compruébelos:

a. El perímetro de un terreno cuadrado es 48,4 m. ¿Cuál es la medida del lado?

b. El triple de un número aumentado en 125 es igual 32. ¿Cuál es el número?

 c. La mitad de un número disminuida en 48 equivale a – 23. ¿Cuál es el número?

6. Une por medio de una línea las cantidades que tengan el mismo valor, haga procedimientos de cada una de las divisiones.

7. Clasifica los triángulos según la medida de sus lados. Las pequeñas líneas sobre los lados de los triángulos indican que esos segmentos tienen la misma medida

 

8. Clasifica los siguientes triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos.

 

9. Encuentra el valor de las siguientes expresiones (haga el procedimiento completo en cada caso)

 

10. Completa los cuadrados mágicos de modo que cada fila, columna y diagonal sea la misma.

 

11. Ubique en la recta numérica y compruebe a través del teorema de Pitágoras.

12. Solucione, recuerde segur el orden de las operaciones.

INDICACIONES FINALES:

·         Debe solucionar el taller en hojas de block debidamente marcado y pegadas las hojas con grapadora.

·         Debe hacer procedimientos completos que aparezcan en el trabajo que entregue.

·         Debe solucionar el taller de refuerzo y estudiarlo muy bien para sustentarlo a través de una evaluación escrita.

·         Debe aprenderse muy bien las tablas de multiplicar, saber sumar, restar, multiplicar y dividir muy bien por una cifra.

·         Poner el cuaderno de matemáticas y geometría al día.

·         Solucionar los talleres que le quedaron faltando del período dos en el cuaderno de matemáticas, no en hojas. El plazo es dos semas a partir de la entrega de boletines de calificaciones del período uno.

 

 

SEMANA 12-13 EXAMEN FINAL DE PERÍODO ---TALLER 7: NOTACIÓN CIENTÍFICA.

 TALLER # 7   Tema: Notación científica  Ver video: Notación científica

1. Convierte los siguientes números a notación científica:

1. 450,000,000

2. 0.000032

3. 7,890,000

4. 0.000000789

5. 123,000,000,000

2. Convierte los siguientes números de notación científica a su forma decimal:

6. $4.2\times {10}^{5}4.2\; \backslash times\; 10^5$

7. $6.8\times {10}^{-3}6.8\; \backslash times\; 10^\{-3\}$

8. $2.3\times {10}^{8}2.3\; \backslash times\; 10^8$

9. $1.1\times {10}^{-6}1.1\; \backslash times\; 10^\{-6\}$

10. $9.75\times {10}^{4}9.75\; \backslash times\; 10^4$

Ejercicios de Operaciones

Realiza las siguientes operaciones en notación científica:

11. $(3.2\times {10}^4)+(4.8\times {10}^4)(3.2\; \backslash times\; 10^4)\; +\; (4.8\; \backslash times\; 10^4)$

12. $(5.6\times {10}^3)-(2.1\times {10}^3)(5.6\; \backslash times\; 10^3)\; -\; (2.1\; \backslash times\; 10^3)$

13. $(7.1\times {10}^{-2})\times (3.0\times {10}^3)(7.1\; \backslash times\; 10^\{-2\})\; \backslash times\; (3.0\; \backslash times\; 10^3)$

14. $(9.5\times {10}^6)÷(1.9\times {10}^3)(9.5\; \backslash times\; 10^6)\; \backslash div\; (1.9\; \backslash times\; 10^3)$

15. $(2.4\times {10}^5{)}^2(2.4\; \backslash times\; 10^5)^2$

Problemas Aplicados

Responde las siguientes preguntas usando notación científica:

16. La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente 384,400,000 metros. Escríbelo en notación científica.

17. El diámetro de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 0.00000000012 metros. Escríbelo en notación científica.

18. Una colonia de bacterias se duplica cada hora. Si comienzas con $5.0\times {10}^{3}5.0\; \backslash times\; 10^3$ bacterias, ¿cuántas habrá después de 5 horas?

19. El Sol tiene una masa de aproximadamente $1.989\times {10}^{30}1.989\; \backslash times\; 10^\{30\}$ kg, mientras que la masa de la Tierra es $5.972\times {10}^{24}5.972\; \backslash times\; 10^\{24\}$ kg. ¿Cuántas veces más masivo es el Sol que la Tierra?

20. Si un virus mide aproximadamente $2.5\times {10}^{-7}2.5\; \backslash times\; 10^\{-7\}$ metros, ¿cuántos virus alineados formarían un metro de longitud?

   

SEMANA 11: TALLER 6 NOTACION CIENTÍFICA

 

TALLER 6     TEMA: UBICACIÓN DE IRRACIONALES EN LA RECTA NUMERICA Y TEOREMA DE PITÁGORAS.

1. Ubicar en la recta numérica la raíz de 7, 10, 12, 15 y comprobar  a través del teorema de Pitágoras.

La notación científica es un modo de escribir los números de forma abreviada, facilitando el trabajo con cantidades muy grandes o muy pequeñas.

IMPORTANTE: 

Empecemos con los números grandes. Para escribir un número grande en notación científica, primero debemos mover el punto decimal a un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de 10 que nos resulte en un valor equivalente al original. Para encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. Ese número es el exponente de la potencia de 10.

La notación científica significa que un número (entre el 1 y el 10) es multiplicado por una potencia de base 10. Por ejemplo, 3,1 x 10² es igual a 3,1 por 100=310.

Hay tres partes para escribir un número en notación científica:

• El coeficiente: es cualquier número real.
• La base: es la base decimal 10.
• El exponente: es la potencia a la que está elevada la base. Representa el número de veces que se desplaza la coma. Siempre es un número entero, positivo si se desplaza a la izquierda, negativo si se desplaza a la derecha.

Entre el coeficiente y la base se coloca un signo de multiplicación "x" o "•".

¿Cómo se escribe en notación científica?

Para transformar un número, tanto muy grandes como muy pequeños, tenemos que mover la coma decimal para un lado u otro y contamos los espacios desplazados.

Números muy grandes

En el caso de números muy grandes:

• se mueve la coma decimal hacia la izquierda tantos espacios hasta llegar a la derecha del primer dígito.
• Se escribe el coeficiente, seguido del signo de multiplicación.
• Se escribe la base 10 con el exponente igual a la cantidad de espacios que se mueve la coma.

Ejemplos

a) 123.000.000.000.000

• La coma se mueve 14 espacios hacia la izquierda.
• el coeficiente es 1,23 x
• la base de 10 elevada a 14
• Respuesta = 1,23 x 10 ¹⁴.

b) 900.000.000.000.000.000.000 = 9,0 x 10 ²⁰.

c) 52500 = 5,25 x 10 ⁴.

Números muy pequeños

En el caso de números muy pequeños:

• se mueve la coma decimal hacia la derecha tantos espacios hasta llegar a la derecha del primer dígito.
• Se escribe el coeficiente, seguido del signo de multiplicación.
• Se escribe la base 10 con el exponente negativo igual a la cantidad de espacios que se mueve la coma.

Ejemplos

a) 0,0000000000654

• La coma se mueve 11 espacios hacia la derecha.
• Se escribe el coeficiente 6,54.
• La base de 10 elevada a la menos 11
• Respuesta= 6,54 x 10 ^-11.

b) 0,00000007 = 7,0 x 10^-8.

c) 0,0003987 = 3,987 x 10 ^-4.

¿Para qué sirve la notación científica?

La mayoría de los fenómenos interesantes en el Universo no están en la escala humana. Por ejemplo, cuando Thomas Young (1773-1829) descubrió que la luz era una onda no existía la notación científica. En aquella época, él tuvo que escribir que la vibración de una onda era 1/500 de millonésima de millonésima de segundo. Sería mucho más fácil y conveniente escribir 2,0 x10 ^-15s.

Se estima que hay alrededor de 5 millones trillones trillones de bacterias sobre la Tierra, esto es un 5 seguido de treinta ceros. En notación científica se expresa simplemente como 5 x 10 ³⁰.

SEMANA 10-- Números irracionales.-

25 al 28 de marzo

Conjunto de los números Irracionales ( I  o  Q ) 

Recordemos que los números racionales  "Q" son  todos aquellos números decimales que podían escribirse con una fracción, por lo tanto los Irracionales son todos aquellos números decimales que NO pueden expresarse como una fracción y tienen infinitos decimales no periódicos. 

El conjunto de los números Irracionales es completamente aislado del conjunto de los Racionales, es decir, un número puede ser Racional o Irracional, pero no ambos a la vez. 

Estos dos grandes conjuntos, serán los que abarcan todo el conjunto de los Números Reales "R", el cual abarca los conjuntos racionales e irracionales. 

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES "𝕀"

 Al conjunto de los números irracionales lo simbolizaremos con 𝕀.

El Conjunto de los Números Irracionales "𝕀.", está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tiene infinitas cifras no periódicas (repetidas). Como ocurre con algunas raíces no exactas. Ejemplo: 

El número “Pi” que se compone de infinitas cifras decimales: 

√2 =1,414213562…          

√5 =2,236067977…  

√3 =1,732050808… 

LA RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO:

 La raíz es un número que multiplicado n veces por sí mismo, nos da el valor indicado dentro de la raíz, denominado radicando.   

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. 

De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica. 

En el caso de algunos números irracionales como √2 ; √3 ; √5 ; …  pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla, compás y el Teorema de Pitágoras. 

Ver el video: CLIC AQUI

https://youtu.be/QeC5W4-ccSQ

Números reales "R"

Los números reales son todos los números que se pueden expresar en forma decimal, ya sea finita o infinita. Se representan con el símbolo R. 

Características:

• Se pueden expresar como fracciones
• Se pueden representar gráficamente en una recta llamada eje real
• Se pueden realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero
• Tienen un orden, como 1, 2, 3, 4
• No tienen espacios vacíos, es decir, cada conjunto que tiene un límite superior tiene un límite más pequeño
• Son infinitos, no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo
• Pueden ser expresados como una expansión decimal infinita
• 
  
• Ejemplos de números reales 

Números enteros positivos y negativos, como 1, 2, 3, -1, -2, -3
Fracciones, como ½
Números irracionales, como √2, √6, √9, √10
Números decimales, como 324,8232, 4,28, 289,6, 39985,4671
El número pi (π)Propiedades de los números reales
Las sumas y multiplicaciones de números reales son asociativas

La suma o multiplicación de dos números reales es igual independientemente del orden en que se realice

Representación de los números reales en la recta numérica.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.