SEMANA 18 Taller # 15 SÓLIDOS PLATÓNICOS.

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas formado por dos ejes numéricos perpendiculares:

• Eje X → horizontal
• Eje Y → vertical

Se cruzan en el punto llamado origen $(0,0)$.

$x=0 \quad \text{y} \quad y=0$

Cuadrantes

El plano queda dividido en 4 partes:

1. Primer cuadrante: $(+,+)$
2. Segundo cuadrante: $(-,+)$
3. Tercer cuadrante: $(-,-)$
4. Cuarto cuadrante: $(+,-)$

Cómo ubicar un punto

Un punto se escribe como: (x,y)         Ejemplo:

$(3,2)$

• $3$ indica cuánto avanzar en el eje X.
• $2$ indica cuánto subir en el eje Y.

Rotaciones y traslaciones en el plano cartesiano

Las transformaciones en el plano son movimientos que cambian la posición de una figura sin alterar su forma ni su tamaño. Las más comunes son la traslación y la rotación.

Traslación

La traslación consiste en mover una figura de un lugar a otro en línea recta, sin girarla ni deformarla.

• Todos los puntos de la figura se desplazan la misma distancia y en la misma dirección.
• La figura conserva su forma y tamaño.

Ejemplo:
Si el punto $(2,3)$ se traslada 4 unidades a la derecha y 2 hacia arriba, queda en:

$(2+4,\;3+2)=(6,5)$

Regla general de traslación

Si una figura se mueve $a$ unidades horizontalmente y $b$ verticalmente:

$(x,y)\rightarrow(x+a,\;y+b)$

• $a$ positivo → derecha
• $a$ negativo → izquierda
• $b$ positivo → arriba
• $b$ negativo → abajo

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Rotación

La rotación es el giro de una figura alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación, generalmente el origen $(0,0)$.

La figura gira cierto ángulo:

• 90°
• 180°
• 270°

Puede girar:

• en sentido horario
• en sentido antihorario

La figura conserva su forma y tamaño.

Rotaciones más usadas alrededor del origen

Giro de 90° antihorario

$(x,y)\rightarrow(-y,x)$

Giro de 180°

$(x,y)\rightarrow(-x,-y)$

Giro de 270° antihorario

$(x,y)\rightarrow(y,-x)$

Ejemplo

Si el punto $(3,2)$ gira 90° antihorario alrededor del origen:

$(3,2)\rightarrow(-2,3)$

Diferencia entre traslación y rotación

• Traslación: la figura se desliza.
• Rotación: la figura gira.

SÓLIDOS PLATÓNICOS.

Figura tomada de: https://www.youtube.com/watch?v=dlf4mD_ivbY

Los sólidos platónicos son cinco cuerpos geométricos que comparten un conjunto de características. También reciben el nombre de sólidos perfectos, poliedros platónicos y de cuerpos cósmicos entre otros.

• Los Sólidos Platónicos: son poliedros que tienen la particularidad de que todas sus caras se asemejan entre sí, sin importar cuántas de ellas tenga. Un ejemplo de esto es un cubo sencillo. Puedes tomar un dado y verás cómo todas sus caras poseen la misma forma y tamaño entre sí. De la misma manera pueden ser las pirámides.

• Sólido de Johnson: son poliedros donde sus caras pueden ser polígonos diferentes.

Y si buscamos algunos de estos nos daremos cuenta de que son formas que ya conocemos:

• Tetraedro regular: su superficie se forma por cuatro triángulos equiláteros del mismo tamaño. Es algo como una pirámide sencilla de tres lados.

• Cubo (también llamado hexaedro, es decir ‘de seis lados’): compuesto por seis cuadrados iguales.

• Octaedro regular: conformado por ocho triángulos equiláteros.

• Dodecaedro regular: es una figura regular que está formada por doce pentágonos, uno al lado del otro.

• Icosaedro regular: formado por veinte triángulos, todos de igual composición.

En la antigüedad se creía que las figuras que poseían formas regulares eran consideradas lo más cercano a la perfección, por tener medidas bastante agradables a la vista. 

Propiedades básicas comunes

• Todas las caras son polígonos regulares iguales.

• Todos los ángulos (diedros) son iguales.

• Todas las aristas tienen la misma longitud.

• En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.

• Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente.

• Como son poliedros convexos, cumplen la ecuación del teorema de Euler que relaciona el número de caras (c), de aristas (a) y de vértices (v):

  $$c-a+v=2$$

• La característica de Euler ($c-a+v$) de los sólidos platónicos es 2.

Tomado de:

https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poliedros/platonicos/poliedros-cinco-solidos-platonicos-regulares-convexos-ficha-descriptiva-propiedades-figuras.

Los prefijos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dan nombre a los cinco poliedros regulares indican el número de polígonos (caras) que forman el cuerpo.

TALLER # 

Tema: Construcción de sólidos Platónicos

1. Construir en cartulina los 5 sólidos Platónicos. Hallar el número de caras, aristas vértices.

2. Explique las características de cada uno.

#. Halle el área lateral y el área total de cada sólido.