SEMANA TRECE---IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

11 AL 15   DEABRIL

DECIMAL PERIÓDICO PURO, PERIÓDICO MIXTO, DECIMAL EXACTO---EJERCICIOS

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QUÉ FRACCIÓN SE HA REPRESENTADO EN CADA CASO?

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USO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

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ACTIVIDADES CON RACIONALES

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EVALUACIÓN, VE AL ENLACEhttps://www.thatquiz.org/es/previewtest?A/F/F/Z/71UV1434290825

Números Irracionales "I" y representación en la recta numérica.

El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.

Todo número racional"Q" se puede representar mediante una expresión decimal que puede ser exacta, periódica pura o periódica mixta.

Las expresiones periódica puras o mixtas, tienen un número infinito de cifras decimales que se repiten periódicamente.

Ejemplos de decimales periódicos:

a) 0,333...                         d) 21, 100100100...

b) 0,31272727...               e) 0,415415...

c) 1,4565656...                 f) 1,325325...

 Todo número racional se le puede hacer corresponder un punto en la recta, pero el conjunto "Q no completa la recta.

 Si observamos, aún quedan puntos a los cuales no se les puede asignar un número racional. Esos puntos corresponden a números irracionales.

¿Qué son números irracionales? 

Son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Expresiones como:

 0,13579111315...; 0,1011121617...; -5,13579111315...;3,48121620...; 5, 17131924...; etc. donde las infinitas cifras decimales que poseen no se repiten periódicamente, se llaman irracionales: Otros ejemplos son: √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10,etc.

1).

no puede representar un número racional.

2). El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

 = 3.141592653589..

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Otros números irracionales son:

1). El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

2). El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Otros de números irracionales:

1. √31 = 5.5677643628300219221194712989185…

2. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

3. √2 = 1. 4142135623730950488016887242096980785696…

4. √3 = 1.7320508075688772935274463415059…

5. π = 3,14159265358979323846…

6. φ = 1.618033988749894848204586834…

7. El número e (el número de Euler) 2,7182818284590452353602874713527…

8. √5 = 2.2360679774997896964091736687313…

9. √7 = 2.6457513110645905905016157536393…

10. √11 = 3.3166247903553998491149327366707…

11. √13 = 3.6055512754639892931192212674705…

12. √122 = 11.045361017187260774210913843344…

13. √15 = 3.8729833462074168851792653997824…

14. √17 = 4.1231056256176605498214098559741…

15. √21 = 4.582575694955840006588047193728…

16. √22 = 4.6904157598234295545656301135445…

17. √23 = 4.7958315233127195415974380641627…

18. √101 = 10.04987562112089027021926491276…

19. √500 = 22.360679774997896964091736687313…

20. √999 = 31.606961258558216545204213985699…

21. √1000 = 31.622776601683793319988935444327…

22. √1001 = 31.638584039112749143106291584801…

23. √9 = 2.080083830519041145300568243579…

24. √6 =1.817120592832139658891211756373…

25. √5 = 1.7099759466766969893531088725439…

26. √7 = 1,9129311827723891011991168395488…

27. √3 = 1,4422495703074083823216383107801…

28. √12 = 2,2894284851066637356160844238794…

29. √13 = 2,3513346877207574895000163399569…

30. √33 = 3,2075343299958264875525151717195…

Representación de los números irracionales.

¿Cómo se puede representar, por ejemplo,  √2 ?

√2 = 1,414...,es decir, 1< √2 < 2

Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1cm de ancho 1cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.

Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue:

Paso 3: Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz de 2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta el valor de √2 de la siguiente manera.  Con tu compás toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como centro el cero. Luego trazas un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta  numérica será el valor de raiz de 2 (longitud desde el punto cero al punto P).

Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente √2 en la recta numérica. 

Sabemos que √2  es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.

¿Cómo representar Raíz de tres ( √3 ) en la recta numérica?

A) Sobre la recta numérica, a partir de cero, se dibuja un rectángulo de lado (base) igual a √2 y altura 1.

B) Trazamos una diagonal dsde cero hasta el vértice opuesto, formándose dos triángulos rectángulos, donde conocemos los catetos, entonces hallamos la hipotenusa.

Luego aplicamos el teorema de pitágoras y hallamos el valor de la hipotenusa, así:

a²= b²+c²

a²= (1)²+ (1)²

a²= 1+1

a²= 2

luego:  √a²= √2    entonces:

a= √2

Por lo tanto, la diagonal(hipotenusa) es igual a √2

                  ____b=√2______

  

Taller nº ____

Ubicar en la recta numérica √3, √5, √6, √7, √8, √10 y aplicar a cada una de ellas el teorema de Pitágoras.