SEMANA CINCO: TALLER 2( PROBLEMAS CON RACIONALES) TALLER 3: ORDEN EN OPERACIONES CON RACIONALES TALLER 4: POTENCIAS

 17 A 21 DE FEBRERO.

FRACCIÓN DE UN NÚMERO

La fracción de un número se obtiene al dividir el número entre el denominador y luego multiplicar el resultado por el numerador. Ejemplo:

Calcular 3/7 de 21

Se multiplica 3 por 21 y luego se divide entre 7 .

El resultado es 63/7, que es igual a 9.

O sea que los 3/7 de 21 es 9

Ver video: cómo encontrar la fracción de un número? click

TALLER 2: PROBLEMAS CON RACIONALES: FRACCIÓN DE UN NÚMERO.

1) Por la compra de un televisor en $1´800.000 se ha pagado ¼ al contado y el resto en 6 cuotas de igual valor. ¿Cuál será el valor de cada cuota?

2) Un frasco de jugo tiene una capacidad de 3/8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio de jugo?

3) Una familia ha consumido en un día de verano: • Dos botellas de litro y medio de agua. • 5 botellas de 1/4 de litro de jugo de manzana. • 4 botellas de 1/4 de litro de limonada. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

4) Mario va de compras con $1800.000. Gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto dinero le queda?

5) He gastado las 3/4 partes de mi dinero y me quedan 90.000 pesos. ¿Cuánto dinero tenía?

6) De un depósito de agua se saca 1/3 del contenido y, después 2/5 de lo que quedaba. Si aún quedan 600 litros. ¿Cuánta agua había al principio?

7) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de ¾ de litro de perfume?

8) Una tinaja de vino está llena hasta los 7/11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1804 litros para llenarla completamente. ¿Cuál es la capacidad de la tinaja?

9) De una pieza de género( tipo de tela) de 52 metros se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante?

10) Un galón de pintura contiene 543 litros. ¿Cuántos galones se necesitan para pintar los muros de una casa si se sabe que con tres tinetas de 10 litros cada una se cubre la demanda?

ORDEN EN LAS OPERACIONES CON FRACCIONES

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

TALLER 3 TEMA: Eliminar signos de agrupación y orden en las operaciones.

1) Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

2) Resolver operaciones con racionales:

POTENCIAS

1) Una potencia es el producto de factores iguales : 

2) La base es el factor repetido y el exponente es el número de veces que se repite.

Cuando el exponente es dos decimos “al cuadrado”, cuando es tres decimos “al cubo”, cuando es cuatro “a la cuarta”, …

3) Para multiplicar por 10 añadimos un cero.

Para calcular una potencia de base 10 escribimos un 1 y tantos ceros como el exponente.

4) Una potencia de un número entero positivo es siempre un número entero positivo.

La potencia de un número entero negativo es un número entero positivo si el exponente es par o negativo si es impar.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

La potenciación cumple con las siguientes propiedades:

IMPORTANTE!

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes (y muy pequeños) usando un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10: a · 10b , donde “a” se llama mantisa y “b” exponente u orden de magnitud.

TALLER 4    TEMA: Potencias

Actividad 3

SEMANA CUATRO: OPERACIONES CON RACIONALES( SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN)

 VER VIDEO SUMA, RESTA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES

VER VIDEO SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN, RADICACIÓN

Suma y resta de números racionales

1. FRACCIONES HOMOGÉNEAS( IGUAL DENOMINADOR)

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

2. FRACCIONES HETEROGÉNEAS ( DIFERENTE DENOMINADOR)

Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen distinto denominador. El proceso para realizar la suma es el siguiente: 

1. Calculamos  el  mínimo común  múltiplo  de  los  denominadores. 

2. Dividimos  el  resultado  del  mcm de  los  denominadores  entre  los  denominadores  originales. 

3. El  resultado  de  la  división lo  multiplicamos  por  el  numerador  original. 

4. Sumamos  o  restamos  según  corresponda  y  simplificamos al  máximo  la  expresión.    

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos o más fracciones( RACIONALES) se mantienen las leyes de signos aplicadas al producto de números enteros. El proceso es el siguiente: 

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS(RACIONALES)

Para dividir dos o más fracciones se mantienen las leyes de signos aplicadas al cociente de números enteros.  

OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES(RACIONALES)

Se mantiene la misma prioridad de operaciones que al realizar operaciones combinadas con números enteros: 

1. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha en el orden que aparezcan) 

2. Sumas y restas  (de izquierda a derecha en el orden que aparezcan) 

Si dentro de las operaciones se presenta algún paréntesis, se debe mantener el siguiente orden: 

1. Paréntesis (  )

2. Corchetes [  ]

3. Llaves {  }

EJEMPLOS

1.  Un padre de familia invierte 1/ 5 de su sueldo en el pago del alquiler de la casa, 1 /3 de su sueldo en alimentación y un 1/ 6 en vestimenta. ¿Qué parte del salario le queda para otros gastos? 

El padre  aún tendrá 3/10  de  su  salario. 

2. ¿Cuántos trozos de alambre de 3 /8 de decímetro de longitud se pueden cortar de un rollo de alambre que mide 7/2 decímetros? 

En total 192  trozos de  3/8 de decímetro de  alambre. 

3. Una máquina teje en un día 1 /8 de una pieza de 9/6 metros. Al día siguiente teje los 2/ 7 de lo que le quedó el día anterior por tejer. ¿Cuántos metros ha tejido en dos días? ¿Qué parte de la pieza le queda por tejer? 

Tomado de: chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.tec.ac.cr/sites/default/files/media/doc/operaciones_con_numeros_racionales.pdf

SEMANA TRES: NÚMEROS Q--TALLER N° 1: JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES, POLINOMIOS ARITMÉTICOS.

 FEBRERO 3 AL 7

Definición de los números racionales (Q)

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, es decir, como una fracción  a/b, donde a y b son números enteros y además b es distinto de cero.

El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q. 

Los números racionales incluyen: Los números enteros (positivos y negativos), Los decimales, las fracciones. 

a: Enteros

b. En forma de fracción

c. En forma decimal

a. Enteros: todos los positivos, negativos y el cero.

a. En forma de fracción

• Los que se pueden escribir en forma a/b, siendo el numerador a y el denominador b números enteros con b ≠ 0

• Ejemplo: -3 = -3/1, los enteros también son racionales

  Fracciones equivalentes. Todas las fracciones que valen lo mismo. Fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan la misma cantidad aunque el numerador y el denominador sean diferentes.

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?

Lo son si los productos del numerador de una y el denominador de la otra son iguales, es decir, productos cruzados.

Vamos a ver unos ejemplos:

Comprobemos si 2/5 y 4/10 son equivalentes.

Para ello multiplicamos el numerados de una de las fracciones por el denominador de la otra.

2 x 10 = 20                     5 x 4 = 20

Como el resultado es el mismo, podemos decir que 2/5 y 4/10 sí son fracciones equivalentes.

¿Cómo podemos calcular fracciones equivalentes?

Por amplificación

Multiplicando numerador y denominador por el mismo número.

Por ejemplo, partiendo de la fracción 1/3 y multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número, podemos obtener diferentes fracciones equivalentes.

Si multiplicamos por 2:           1 x 2 = 2          3 x 2 = 6

por lo tanto la fracción 2/6 es equivalente a la fracción 1/3

Por simplificación

Dividiendo numerador y denominador por un divisor común de ambos.

Por ejemplo, 12/30 podemos dividir el numerador y el denominador entre 2, ya que tanto el numerador como el denominador son pares.

12 : 2 = 6          30 : 2 = 15

por lo tanto 6/15 es una fracción equivalente a 12/30

b. En forma decimal: La forma decimal puede ser de tres formas:

Decimal exacto, cuando la parte decimal tiene un número finito de cifras: 3,27.

Decimal periódico puro, cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente: 3,2727272727…

Decimal periódico mixto, cuando no toda la parte decimal se repite: 3,2777777

Jerarquía de las operaciones

Ver video: clic

Ver video

1) Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 )Calcular las potencias y raíces.

3) Efectuar los productos y cocientes.

4) Realizar las sumas y restas.

POLINOMIOS ARITMÉTICOS. Ver estos dos videos: clic    clic

Un Polinomio es una expresión matemática conformada por un número limitado o finito de variables y constantes, entre las que se establecen operaciones aritméticas como la suma, la resta, multiplicación e incluso la potencia de números enteros.

Polinomios Aritméticos con signos de agrupación

En segundo lugar, resaltan aquellos Polinomios que sí cuentan con la presencia de signos de agrupación, como paréntesis, corchetes y llaves, así también como distintas operaciones aritméticas. De esta forma, un Polinomio Aritmético con signos de agrupación, bien podría expresarse de la siguiente forma:

52+ (4-2) – {34+ (2 x 3)-[38+24-(8+22) -8]+ 24}

Forma de resolver un Polinomio Aritmético con signos de agrupación

En cuanto a la forma de resolver este tipo de expresiones matemáticas, sucederá igual que en las operaciones aritméticas en general. En este sentido, se seguirán los siguientes pasos:

• Operaciones que se encuentren dentro de paréntesis, las cuales también seguirán el orden de potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.
• Acto seguido, se resolverán aquellas operaciones que se encuentren dentro de los corchetes, siguiendo el orden del primer punto.
• Así mismo, se solucionarán aquellas operaciones que se encuentren dentro de las llaves.
• Cuando ya no se cuenten con signos de agrupación, se procederán a resolver las potencias y raíces.
• Se continuará con las multiplicaciones y divisiones.
• Se resolverán las restas.
• Finalmente, se solucionarán las sumas, a fin de obtener la solución final.

Operaciones combinadas sin paréntesis

1) Combinación de sumas y restas:

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

Ejemplo:

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

2) Combinación de sumas, restas y productos:

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

Ejemplo:

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = 

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

3) Combinación de sumas, restas, productos y divisiones:

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

Efectuamos las sumas y restas.

Ejemplo:

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = 

5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

5+ 15 + 4 +8 - 10 - 8 - 4 =

              32 - 22 = 10

4) Combinación de sumas, restas, productos , divisiones y potencias

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

Seguimos con los productos y cocientes.

Efectuamos las sumas y restas.

Ejemplo:

2³ + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2² − 16 : 4 = 

8   + 10 : 2    + 5 . 3 + 4 -  5 . 2 - 8 +  4 .  4 -   16 : 4 =

8  +  10 : 2  +  5 · 3  + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 - 4   = 

8 +        5    +   15    + 4 −   10  − 8  +  16  − 4 = 

                               48 - 22 = 26

Ejemplo de operaciones combinadas

12 − {7 + 4 · 3 − [ ( (-2)² · 2 − 6)]}+ (2² + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 2³: 2) =

12 − {7 + 4 · 3 − [(-2)² · 2 − 6)]}+ (2² + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 2³: 2) =

1) Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

Ejemplo:

= 12 − {7 + 4 · 3 −[ (4 · 2 − 6) ] } + (4 + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 8 : 2) =

2) Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

Ejemplo:

= 12 − {7 +12 − [ (8 − 6) ] } + (4 + 6 − 15) + 3 − (5 − 4) =

3) Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

Ejemplo:

= 12 − {7 + 12 − [ +2 ] } + (−5) + 3 − (+1) = 

= 12 − { 7 + 12  -   2  }    −   5   + 3   − 1 =

= 12 − { 7 + 12  -   2  }    −   5   + 3   − 1 =

= 12   -        17             -        5   + 3   - 1

=          15            -        23

=    - 8

4) La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

A) Si antes del paréntesis va el signo +, se quitará éste manteniendo su signo los términos que contenga. Ejemplo:

= 12 − (17 − 5 + 3 )− 1 = 

= 12  -   17 + 5  - 3  - 1=

=12   +  5   -  17  -  3  -  1=

=17    -    21=

=    -  4

B) Si antes del paréntesis va el signo −, al quitar el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.

Ejemplo:

= 12 + (17 − 5 + 3 )− 1 = 

= 12+17- 5 + 3 - 1=

=12+ 17 + 3 - 5 - 1=

=32  - 6=

=  26

Ver video antes de solucionar el taller: clic

TALLER N°1 

Tema : Polinomios y eliminación de signos de agrupación.

Resuelva los siguientes polinomios paso a paso, siguiendo el orden jerárquico para resolver operaciones: Este taller se adaptará a los tiempos y condiciones del grupo.

1)    -30+ {8 - [(-5)+1-5-(-3)]+(-7) } -  2³   

2)    - {2³+ ( -3 + 8:2) - [ 3 . 2 - 10 : (-5)] -9}

3)    - { 40 - [ 45 . 5 - ( 2³ +12) + 18  + 50] + ( - 35) }

4)       2²+ { -3 - [( 78-(-60-9)  . ( -2 . 3) ] + 98) } +  2³

5)   -1+2-{3-[5+7-(-9+10-11) -12+8 . 3]-  2³} 

6)    15-(-3+4)+{6 . 3+[2-5+7]- 2³-[-4+6-(-2+1+3)-6]}

7)    -{-4-5-15-[-2 . 9-10-(-8)-7+9]-16+7} + 2³

8)    -8-{-4+8-[7 . 6- 2³-(3+2-5)-(11+12)]-23}-37

9)     5+{-7-[6 . 5-12+(- 2³+15)]}-{-[-(-3+5+7)]}